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速報!!25年度京都公立一般入試 数学精解

平成25年度 京都府公立高等学校入学者選抜学力検査
検査3


【数学】 問題:PDF形式で開きます


こちらも昨年のテキストを引用(流用?)させていただきます
(さぼり!? NO!それくらい過去のテキストを信用している訳です!…苦しい!?)。
はてさて。


さて数学は3時間目。
気の緩みが出てもおかしくないタイミングですが、
それが命とりなことは百も承知。
ここで一気に加速していこう。


前半2教科が文科系(国社)でしたので、
これから続く理科系(数理)の戦い方も重要。
この絵図がきちんと描けるのも過去問をしっかりと消化した組。


どういった意味合いの節約か分かりかねますが、
赤本を最後の最後まで購入しなかった組(ようは他力組)は苦戦必至。
よって気を強くして臨まなくてはなりませんね。
スタート地点でハンディキャップが目立ちますから。


さて、昨年のブログテキストを改めて引用します。※よって以下は昨々年のテキスト。

>さて、それでは英語同様いくつかお断りを。
>このブログの性質上、分数は表記できません。
>よって3/2は、2分の3という見苦しい表記になることをご了承ください。
>また、本来であれば逆数をかける際も、表記上÷2とします。
>ちなみに累乗も表記できませんので、あしからずご了承ください。
>また、解法・解説に関しては基本的なものを優先します。
>辛気臭い面もあるかもしれませんが
>その点は引き続きご了解を。


という訳で、数学は必ず上記リンクの問題を読みながら参考にしてください。
ともあれ数学を書くのがいちばんのハードル。
入試問題をいちばんに解いたのが数学でしたが(やはり気になるので)、
このブログに提出するのはどうしても気後れしてしまいます。


さあ、そんな弱気は捨て置きまして、いざ出発!!




それでは大問1


毎度の100%マスト問題。
ここで落とすことは許されません。唯一プレッシャーを感じて臨んでください。
ここも以下に昨年のテキストを紹介。※もちろん昨々年のテキストです(笑)。

>(中略)配点が2点。
>一部生徒の中には計算問題を各1点だと誤解している生徒がいますが、
>何のことはない
>2点です。

>よって(いわゆる)計算だけで14点。
>14点あれば模試なら偏差値が45~程度あります。
>数学で苦労している生徒でも45あれば勝負できますよ。
>※手許にある資料の五ッ木京都模試12月実施数学でなら、14点で偏差値48!


ま、簡単な解説を。

(1)-(-)² をきちんとクリアーにすれば問題ない。
(2)これも通分をきちんとすれば楽勝。間違っても分母を払うべからず。
-の分配法則については言及しなくていいよね?
(3)平方根の計算結果を整理するのではなく、計算途中で整理していく訓練をしておきたいですね。
ま、適宜選択できるフットワークも必要です。
例えば今回の計算では√36としてから整理する方が容易かもしれません。ま、3√2でも同様ですが。
あとは有理化。これに尽きますね。
(4)(x-5)を例えばAに置き換えることができればさらに容易になります。
(5)例年になくやさしい問題ですね。式をグラフ化することに苦手さを感じている生徒は少ないのでは。
(6)解の公式。2年連続。新学習指導要領云々は不要だと思いますが、これはもうマストですね。
(7)27+x=68、という外角の性質を使いたいですね。

以上で14点。落とせませんね。ここで落とすことはダメです。


続きまして大問2


いつも通りの確率。今年の驚きは写真入りってところ(笑)。
これも考えようによっては子どもたちに難しさを感じさせるかも。
中2(新中3)にひと言。
>この2月~3月、学校授業がかなり駆け足になった中2諸君、
>毎年出てるぞ!!

まずは本文より2a+b=nという式が立てられます。

(1)n=12、ですが、3/36、よって1/12

(2)nが何かをまずは調べねばなりません。
228を素因数分解して、n=1、2、3、4、6、12…となります。
よって(1,1)(1,2)(1,4)(2,2)(3,6)(4,4)(5,2)、7/36

あまり馴染みのない出され方だったかもしれません。
でも落ち着いて臨めばきっと勝負できたはず。諦めたくありません。


さあさあ大問3


いわゆる方程式の問題です。
これも公立としては珍しい出し方じゃないかと思います。
子どもたちの心情になれば、恨み節を呟きそうな類ですね。

まずは本文を精読して条件を整理していきたいですね。

(1)18分後の距離を聞いていますので、ようは最初の分速での到達ポイント。
y=60xは分速から出したいですね。
ここにx=18を代入するだけです。

次のグラフも基本通り、2点の座標を出しましょう。
(18,1080)と(27,2700)となります。増加量から変化の割合を出してハイ終わり。

(2)まずは弟のグラフを式化しましょう。(17,0)(27,2700)
2分後に追いつくとありますので(旅人算でしょうか)、
兄のx分後と、弟の(x+2)分後の、進んだ距離が等しいは分かりますね。
よってそれぞれの式に代入して、連立方程式を解きますと大丈夫。

例年になく難問だったと思います。
旅人算の概念を公立中学生が承知しているかというと疑問です。酷だよな、と個人的には思います。


どんどん行こう大問4


二次方程式ですね。
これも条件からまずは整理を進めましょう。まずは物事をシンプルにすること。

(1)点Aのy座標は…、解説要る?って感じですが(笑)、ま、代入。それだけ。

A(-4、8)B(2,2)、これで出せますね。2点が分かれば直線は式化できます。

(2)四角形ODBCの面積が幸い容易に出せます(ま、だから問題になるのですが笑)。
台形なのでODBC=6ですね。
点Eのx座標を例えばtとすると、△OEC=4×t÷2=6、これを解いてt=3ですね。

どストレートな関数でしたね。
座標を問われる設問にはx座標をtと置く練習を重ねたか、ここが決め手でしたね。


まだまだ大問5


平面図形、空間図形の問題。
Ⅱ図で示された三角錐を自分で描きだす丁寧さがあってもいいですね。
じゃないと元の直方体の辺が邪魔をしてイメージをスポイルします。

(1)体積はシンプルに解きましょうか。その前に条件を図に記入はマスト。
立体の体積はとりもなおさず『底面積×高さ』、錐は÷3(ようは錐が3つ集まって柱だと)。
※冒頭に書いた通り分数表記ができません。 よって本来なら積で書くべきところを商で表記しています。

表面積はそれぞれの三角形の辺の長さを出して、そんで総和。
疑いたくなるような計算結果ですが(笑)、自分を信じて。きっと合ってる。


そのまま大問6


毎年のように出題される円周角の定理を利用する(であろう)設問。
まずは条件整理。分かったことをトントン書き込んでいくと筋道が浮かび上がってきます。
ここでいけないのが、視覚が即座に獲得した情報から思考を停止させてしてしまうこと。
何のことはない、条件(仮定)をひとつずつ書き込んでいくだけで風景が変わるって。

さてさて、(1)BD=直径、よって△ABDが直角三角形だと分かりますね。
あとは三平方の定理によりBDを出す。

(2)OF:FD。これはAD//ECを見つけて、二角相等より△AFD∽△CFO。
直径=6でしたので、半径(=CO)は3、よって相似比が4:3となります。
ちなみにOD=6なので、OF=6×3/7=18/7。

(3)△OCFの面積はいくつかにやり方があると思います。
まずは初見で解いた時のやり方をここにあげます(おそらく遠回りなやり方でしょうから後日更新します)。

まず辺OEを三平方より出し、△AEC=(3+2)×√5÷2=5√5/2…①
私は①から△AEOと△AFOを引く道筋をたどりました(ブサイクかな…)。
△AEO=2×√5÷2=√5…②
△AFO=△ADO×3/7…③
よって①-(②+③)

う~ん、これはもっとシンプルな解法があるのだろうけれど、まずはこれにて。
瞬間的に浮かんだ道筋を優先しました(時間的な制約もあり)。
とにかく数学で苦労している生徒は、
いつも言っているように計算を除く各大問の小問1(と出来れば2)と対決する、という姿勢で問題なし。
それらだけで30点くらいいくのが現行の入試問題です。

良い悪いは置いといて。


さあ、最後の勝負、大問7


恒例の規則性の問題。
これに慣れるのは容易ではありませんが、『式を立てれば』という姿勢が確立されていれば大丈夫。
極端に言えばひとつずつ書いていけば解ける問題でもあります(笑)。
小問1は特にそう、諦めたらとにかくもったいない。

今回のテストは写真を多用しましたね。
どこの入試問題から参考にしたのでしょうか(笑)。
私的にはイメージを具現化する写真が、
実はとっつきにくさを助長しているのではという気がしないでもありません。
この辺りどうなんでしょう。
何でもかんでもヴィジュアル化(可視化)する社会的傾向を揶揄するとかではなく、
今回のサイコロとタイルの写真、(もはや)古い世代の私にはムムッと構えてしまいます。

ともあれ、さあ行こう!数学最後のひと勝負!

まずは精読して条件を確認していきましょう。
Ⅲ図で表されているように、Ⅱ図に色を描き込んでいくことも自分を助けてくれます。

私はまず規則性(→式化)を探します。
Ⅱ図の円に着色していく(かつ式化)段階で、やはり核となる規則が浮かび上がってきました。
着色をしながら『やりにくいな~(視力が悪いため)』とこぼす訳です。
やりやすい仕方を探していく中で、
円の増え方が n²+(n-1)² だと気が付きます(式化できなくとも)。

同様にタイルの数も容易に規則性が見えてきます。この辺りはやはり図表を作成していきたいですね。
ちなみにタイルは4×1、4×4、4×9、4×16と増えています。よって4n²。

(1)6番目の値は、上記の文字式に代入するだけですが、
もちろん4番目まで書いてある訳ですから、5番目、そして6番目、という風に書きだしても解けます。
だから諦めるな!

(2)これもすでに式化できているので、等式を作るだけですね。
4n²=1296、n=18。
そしてタイルの数は18²+17²





第一印象は例年になく難易度の高い問題だった、というものです。
もちろん全く逆の感触を得ている方もいらっしゃることでしょうし、
そのどちらでもない方もいらっしゃるはずです。


少なくともこの入試即日解説をやり始めて今回ですでに4年目ですが、
私の中では難しさで上位に来るのではないかなという感触です(明日変わるかもしれませんが笑)。


子どもたちの心情を慮ると、ジタバタと悪戦苦闘したかな、という心配が勝ちます。
今回は特に山城高校のいわゆる20%枠の倍率が高く、文字通り1点でも多く取らねば、の戦い。
子どもたちの多くが今日は学校にて卒業遠足(!)でUSJ(!!)に行っているためもあり、
自己採点の報告を残念ながら受けていません。


ふうむ。果たしてどこまで戦えたろうか。気が気でありません。
もちろんそんな表情をぐっと飲み込んで、18日の発表まで吉報を待つのみ。
この1週間余りが結構長いんだ。


それでは次回まで。
文責:京都市北野白梅町・衣笠わら天神の個別指導塾 育星舎『個別α北野・衣笠』池田真一 is101309.gif

2/272/282/292/302/313/13/2

日曜
開講
通常
授業
通常
授業
通常
授業
通常
授業

通常
授業
3/33/4353/63/73/83/9

日曜
開講
通常
授業
通常
授業
公立
一般
通常
授業
調整
休講
調整
休講
3/103/113/123/133/143/153/16


通常
授業

通常
授業

 

春期
講習
申込〆
3/173/183/193/203/213/223/23


合格
発表
春期
講習
開始

高校
説明会
春期
講習
春期
講習
春期
講習
3/243/253/263/273/283/293/30

春期
講習

春期
講習
春期
講習
春期
講習
春期
講習
春期
講習
3/314/14/24/34/44/54/6
春期
講習
春期
講習
春期
講習
春期
講習
春期
講習

春期
講習
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